確率論難しい。とりあえず基礎的な条件付期待値についての備忘録。しばらく続くかも？

もとの確率空間を としまして，部分σ加法族 に対して条件付期待値 は Radon-Nikodym 導関数とか -可測な確率変数で との2乗平均誤差を最小化する確率変数として定まったりする訳でした。

ところが初級の確率論の教科書だと， とか， とか書かれたり。これらの関係はなんだったろう．．．？？？

情報の構造がはっきりとつかめない間はこういうことを悩んだりもします。（僕はまだあやふやだけど）

上で述べた方法を通して， が生成するσ加法族 に対して の条件付き期待値が -可測な確率変数 として定まります。これは -可測性から， の上では定数関数にならないといけません。そうすると，

という関係が成り立って，2つの表現が互いに行き来することになります。

．．．なんだ簡単だな。

力学系の挙動は不安定多様体・安定多様体・中心多様体の3つの不変多様体に分解できる．
もし不安定多様体が空集合であるとすると，軌道は指数関数のオーダーで中心多様体に落ち込む．したがって，平衡点周りの長期的な振る舞いは中心多様体に制限した力学系によって分析できる．
らしい
もっと早く勉強しておくべきだったな

なんだかいろんな人に適当なこと言ってたようなのでこちらできちんと書いておこう．まぁ僕はいつも適当なことばかり言ってるんだけれども
[ 凹関数の定義 その１ ]
　0 ≦s + t≦1 なる 正の s, t に対して，F(sx + ty)≧s F(x) + t F(y) が常に成り立つ関数 F を凹関数と呼びましょう．
[ 凹関数の定義 その２ ]
　F(x/2 + y/2) ≧ [F(x) + F(y)]/2 が成り立つ関数も時々凹関数と呼ばれます．
風巻紀彦先生にならって，１を満たす関数を凹関数，２を満たす関数をＱ-凹関数と約束します．Ｑは有理数のＱ*1だと思います．もちろん凹関数ならＱ-凹関数です．Hardy–Littlewood–Polya の本では，Ｑ-凹関数を凹関数といっています．
以下のようなことを証明できそうな気がします：
１．Ｑ-凹関数は，有理数の s, t に対しては１の条件を満たす
２．連続なＱ-凹関数は，凹関数
ものの本によると，連続でないＱ-凹関数は，任意の区間で下に有界ではないような関数のようです．すると，有界なＱ-凹関数は連続になりますね．これが証明できたとすると，凹関数は下に有界なので
３．凹関数は連続
もいえそうです
凹関数のべたーっと連続の定義を選ぶと，扱いよい関数になってしまうわけですな

• 注1有理数の集合Ｑってちょっと変ね．Rational Numbers なのに．でもそういうことになってるので仕方がないですが．これは，実数 Real Number の集合を Ｒ として，有理数は極限操作を行うひとつ前の段階という意味でＱを選んだんでしょう．アルファベットのＲの前はＱですから

“A Mathematician’s Apology”はオンラインバージョンがあったようです．知らなかった．いつか読んでみよう．
http://www.math.ualberta.ca/mss/

そういえば、某先生がDoob の本はいいから買っといた方がいいよって言ってたな。でも、こんなに高い本おいそれとは買えないっすよ・・・

Kolmogorov & Fomin のDoverの緑色の本*1を読んでいます．基礎的な事項がたくさん詰まっていてちょうどよい．学部のころにやっときゃよかったな．昨日は3章の位相空間．自分の発表のへたくそさに腹が立つ．
博士課程になってからというもの研究会やらゼミやらではほとんど発表の機会がなかったので，発表は年に出すか出さないかの学会だけ．それはもう効果テキメン．さっぱりしゃべれなくなります．自分が1分前に何を言ったかさっぱり分からないし，ノートのまとめ方も格段にへたくそ．
Input & Output は日常的に訓練しなければなりませんね
あんま本文と関係ないですが，Trence Tao のブログにコンパクト性の大事なことが書かれてあります．基礎的であって最重要
245B, Notes 10: Compactness in topological spaces

• 注1“Introductory Real Analysis,” See also my bookshelf blog

http://book.kenjisato.jp/index.php?itemid=11
僕の本ブログへジャンプします．解析学の反例集．しばらく前に安かったから買って放置してましたが，開いてみたらすごく面白い！ぜひ買ってください．